Soutenance de thèse de M. Rémi André

Monsieur Rémi André, doctorant au laboratoire LIS sous la direction de Monsieur Éric MOREAU, Professeur des Universités, Université de Toulon (France) et directeur de SeaTech, soutiendra publiquement sa thèse en vue de l’obtention du Doctorat en Automatique, signal, productique, robotique sur le thème suivant :

« Algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude pour la décomposition canonique polyadique de tenseurs : applications en séparation de sources »

le vendredi 07 septembre 2018 à 10h00, en salle X219, Bâtiment X de SeaTech.

Le jury de thèse sera composé de :

  • M. Michel OLIVIER, Professeur à l’INP Grenoble, Président
  • M. David BRIE, Professeur à l’Université de Lorraine, Rapporteur
  • M. Adel BELOUCHRANI, Professeur à l’ENP Alger, Rapporteur
  • M. Martin HAARDT, Professeur des universités, Ilmenau University of Technology, Examinateur
  • M. Laurent ALBERA, Maître de conférences HDR, Université de Rennes, Examinateur
  • M. Éric MOREAU, Professeur des Universités, Université de Toulon, Directeur de thèse
  • M. Xavier LUCIANI, Maître de Conférences, Université de Toulon, Encadrant de thèse

Résumé :

Dans cette thèse, nous nous focalisons sur le développement et la conception d’algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude. Le but de ces algorithmes est d’estimer la matrice diagonalisant conjointement un ensemble de matrices diagonalisables dans la même base de vecteurs propres. Les algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude permettent, entre autres, de résoudre le problème de décomposition canonique polyadique de tenseurs. Le but de ce problème est d’estimer les matrices facteurs d’un tableau de données multidimensionnel appelé tenseur. La décomposition canonique polyadique est particulièrement utilisée dans les problèmes de séparation de sources et de dé-mélange. L’utilisation de la diagonalisation conjointe par similitude permet de palier certains problèmes dont les autres types de méthode de décomposition canonique polyadique souffrent, tels que le taux de convergence, la sensibilité à la surestimation du nombre de facteurs et la sensibilité aux facteurs corrélés.

Les algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude existants sont déclinés en deux versions : l’une pour traiter des données réelles et l’autre pour traiter des données complexes. Dans le cas complexe, une partie des algorithmes donne de bons résultats lorsque le niveau de bruit est faible alors que l’autre partie des algorithmes est plus robuste au bruit mais a un coût de calcul élevé. Nous proposons donc en premier lieu des algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude fonctionnant à la fois sur des données réelles et complexes sans modifications et estimant les paramètres inconnus de manière analytique.

Par ailleurs, dans plusieurs applications, les matrices facteurs de la décomposition canonique polyadique contiennent des éléments exclusivement non-négatifs. Prendre en compte cette contrainte de non-négativité permet de rendre les algorithmes de décomposition canonique polyadique plus robustes à la surestimation du nombre de facteurs ou lorsque ces derniers ont un haut degré de corrélation. Nous proposons donc aussi des algorithmes de diagonalisation conjointe par similitude exploitant cette contrainte de non-négativité.

Les simulations numériques proposées montrent que le premier type d’algorithmes développés améliore la précision et le coût de calcul pour des matrices de petite et moyenne taille. Cependant, ces algorithmes sont sensibles à la taille des matrices à diagonaliser. Les simulations numériques montrent aussi que les algorithmes avec contrainte de non-négativité améliorent l’estimation des matrices facteurs lorsque leurs colonnes ont un haut degré de corrélation. Enfin, nos résultats sont validés à travers deux applications de séparation de sources en télécommunications numériques et en spectroscopie de fluorescence.

Mots clés : Traitement du signal ; Diagonalisation conjointe de matrices ; Décomposition matricielle ; Décomposition canonique polyadique ; PARAFAC ; Tenseur ; Analyse de données multidimensionnelles ; Non-négativité ; Optimisation ; Séparation de sources ; Télécommunications numériques ; Spectroscopie de fluorescence.

Abstract :

Joint eigenvalue decomposition algorithms for the canonical polyadic decomposition of tensors : Applications in blind source separation

This thesis focuses on the development and the design of several joint eigenvalue decomposition algorithms. These algorithms consist in finding a matrix diagonalizing a set of matrices jointly diagonalizable in the same basis of eigenvectors. These algorithms allow amongst others to solve the canonical polyadic decomposition problem. This problem consists in finding the factor matrices of a multiway array called tensor. The canonical polyadic decomposition is widely used for blind source separation and unmixing problems. Using the joint eigenvalue decomposition to solve the canonical polyadic decomposition problem allows to avoid some problems whose the others canonical polyadic decomposition algorithms generally suffer, such as the convergence rate, the overfactoring sensibility and the correlated factors sensibility.

The existing joint eigenvalue decomposition algorithms are declined in two versions : the first one deals with real data and the second one with complex data. In the complex case, some algorithms give good results when the noise power is low, while the others are more robust to the noise power but have a high numerical cost. Therefore, we first propose algorithms dealing with real and complex data without modifications and analytically estimating the unknown parameters.

Moreover, in some applications, factor matrices of the canonical polyadic decomposition contain only nonnegative values. Taking this constraint into account makes the algorithms more robust to the overfactoring and to the correlated factors. Therefore, we also offer joint eigenvalue decomposition algorithms taking advantage of this nonnegativity constraint.

Suggested numerical simulations show that the first developed algorithms improve the estimation accuracy for small and medium size matrices and reduce the numerical cost in the case of complex data. However they are sensitive to big-size matrices. Our numerical simulations also highlight the fact that our nonnegative joint eigenvalue decomposition algorithms improve the factor matrices estimation when their columns have a high correlation degree. Eventually, we successfully applied our algorithms to two blind source separation problems : one concerning numerical telecommunications and the other concerning fluorescence spectroscopy.

Keywords : Signal processing ; Joint diagonalization ; Matrix decomposition ; Canonical polyadic, decomposition ; PARAFAC ; Tensor ; Multiway data analysis ; Nonnegativity ; Optimization ; Blind source separation ; Digital telecommunications ; Fluorescence spectroscopy.

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